『積分を求める問題を教えてください！』（あゆ）

[エクセルを使って積分を求める問題を教えてください！]

｛問題｝ 
f(ｘ)＝1−Xの2乗 
∫1から-1 f(ｘ)dx 
をエクセルを使って次の2通りの出し方で面積を求めなさい。 
☆原始関数をつかった場合。 
☆区分求積をつかった場合。 
(区分求積の場合はn＝10,n＝100,n＝1000の場合面積がどうなるかを調べなさい。


私は考えたんだけど、やっぱりよく解りません。
先生の早口(笑)ヒントを聞いたので、メモしたんで書きます。

原始関数のやり方は1の原始関数を求めて、
次にｘの2乗の原始関数を求めてそれを引く。
それからF(1)−F(-1)って言ってました。

区分求積はｎ＝10の場合だったら(10等分の場合だったら)
-1 , -0.8 , -0.6 , …0 , 0.2 , … 1　
のようにエクセルの縦軸に表を作って…それから、
……(この間聞き取れませんでした…)
1−セルの番号＾2　とか、ｆ(-1)　ｆ(-0.8)　
って言葉も言ってました。
それからSUM関数を使う。
って言ってました。

これは授業中先生がヒントを言っていたので
急いでメモしたものです。



このようにやればいいのですけど、
このヒントの順番におしえてもらえませんか？

よろしくお願いします。
エクセルは私、基礎的なことしかわからないので。

すごい困ってます。よろしくお願いします。至急お返事まってます。

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 ☆原始関数をつかった場合。(ここはエクセルの出番はなさそうです)
 ・失礼ながら「原始関数」を理解していますか？
 　　「1」の原始関数は?
 　　「X^2」の原始関数は？
 　　「f(x)」の原始関数「F(x)」は？
 の順に考えます。

  1
∫f(x)dx ＝F(1)−F(-1)
 -1

 となるのを理解していますか？

 ☆区分求積をつかった場合。(エクセルの出番です)
 ・失礼ながら、「区分求積」の方法(手計算で)をご存じですか？
 　n=10 のとき、手計算で計算できますか？
 　手計算でできるなら、その計算をエクセルにさせましょう。

 ※回答だけをお教えするのは(少なくとも私は)したくありません。
 　どこが分からないのかを示してくれればヒントは差し上げます。
 (ちゅうねん)

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原始関数は、
F(1)−F(-1)＝x−xの３乗/3
           ＝（1−1の３乗/3）−(-1−(-1)の３乗/3)
           ＝4/3
　　　　　　　　　　　であってますか？

区分求積は、
Ｓ１０＝Ｓ２×５＝２｛１−（１＋１/５）（２＋１/５）/６｝＝２８/２５＝１．１２
であってますか？
エクセルでどうやったらいいのかわからなくて教えてもらえませんか？

先生が言ってた、ｎ＝10だったら、1 , -0.8 , -0.6 , …0 , 0.2 , … 1　
のようにエクセルの縦軸に表を作ってそのあとどうすればいいのですか？
「1−セルの番号＾2」って入力する　とか、ｆ(-1)　ｆ(-0.8)　
とか、それからSUM関数はいつ使うのか解りません。

助けてください。教えてください。

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 失礼しました。私の想像より(少しだけ)理解してくれていました。しかし、
 >原始関数は、
 >F(1)−F(-1)＝x−xの３乗/3
 >           ＝（1−1の３乗/3）−(-1−(-1)の３乗/3)
 >           ＝4/3
 >　　　　　　　　　　　であってますか？ 
 は、半分合っていますが、厳密には間違っています。

 「F(1)−F(-1)」は原始関数ではありません。
 原始関数はF(x)であって、「F(1)−F(-1)」はf(x)の[-1,1]における定積分です。
 　「1」の原始関数は「x+c (cは任意の定数)」です。
 　「X^2」の原始関数は「(x^3)/3+c' (c'は任意の定数)」です。
 　「f(x)」の原始関数「F(x)」は「x-(x^3)/3+c" (c"は任意の定数)」です。
 よって、
   1
 ∫f(x)dx ＝F(1)−F(-1)＝4/3 です。
  -1
 ちなみに、↑は、∫-1から1です。数字は下から上へです)

 さて、
 >区分求積は、
 >Ｓ１０＝Ｓ２×５＝２｛１−（１＋１/５）（２＋１/５）/６｝＝２８/２５＝１．１２
 >であってますか？
 は、私にはあなたの式の意味がわかりませんでした。式を説明してください。

 n=10の場合、
 x=-1.0から1.0の区間を10等分して、 x=-1.0,-0.8,-0.6,…,0.6,0.8 の10個(1.0の
 場合は含めない)についてf(x)を計算し、さらに、f(x)に�凅を掛けたものを計算し、
 合計(SUM関数を使う)することで-1から1の面積を求めます。
 グラフを描いて理解してください。
 n=10のときは(厳密解に比べ)誤差を含んだ結果になります。
 nが大きくなるにつれ、計算結果が厳密解に近づきます。

 n=10の場合は手計算でもできますが、n=1000の場合は-1.0,-0.998,…0.998 の1000個
 について計算しなければならないので、エクセルの力を借ります。
 エクセルの出番までもうすぐです。がんばりましょう。
 (ちゅうねん)
 ↑誤字修正しました。
 区分求積について私の考えに間違いがあるようです。
 ごめんなさい、調べますのでしばしお待ちを！
 (ちゅうねん)

 区分求積で、最小和と最大和という考え(最小和＜本当の面積＜最大和)があります。
 私にはあなたの式が理解できませんが、n=10のときの最小和は確かに1.12になります。
 (ちなみに、最大和は1.52です)
 でも、先生のヒントから想像すると、最小/最大を意識せず、単純に微小区間の長方形
 の和を求めているように 思えます。(上の、私の解説通り)
 ちなみに、その和は、1.32 になります。
 先生がどこまで求めているか分かりませんので、一緒に授業を受けた人と相談ください。
 (ちゅうねん)
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区分求積をエクセルを使って求める場合、
   n=10だったら、縦軸に-1 , -0.8 , -0.6 , …0 , 0.2 , … 1と表を作るんですよね。
やってみたんですけど、これってちがいますかね？
A1が-1　B1がA1-A1＾2　C1がB1*0.2です。

    A        B        C
1    -1	   -2	-0.4
2   -0.8	 -1.44	-0.288
3   -0.6	 -0.96	-0.192
4   -0.4	 -0.56	-0.112
5   -0.2	 -0.24	-0.048
6    0	   0	0
7    0.2	  0.16	0.032
8    0.4	  0.24	0.048
9    0.6	  0.24	0.048
10   0.8	  0.16	0.032
11    1	  0	  0
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 >A1が-1
 ？？。あなたの説明の意味が分かりません。
 数字の並べはこれで良いと思います。ここがｘに相当します。

 >B1がA1-A1＾2
 f(x)は1-x^2 だから、これはちがうのでは？ここにはf(x)を計算します。

 >C1がB1*0.2
 C列の考えは合っていると思います。ここはf(x)*�凅を計算します。
 
 C列のデータは10個だけ必要です。(11個目は不要です)
 合計(面積)を =SUM(C1:C10) で求めます。

 n=100の場合、n=1000ｎ場合に挑戦しましょう。

 ところで、
 >Ｓ１０＝Ｓ２×５＝２｛１−（１＋１/５）（２＋１/５）/６｝＝２８/２５＝１．１２
 の式も説明してください。これはこれで意味がある値と思うので…。
 (ちゅうねん)